quinta-feira, 23 de maio de 2013

Limites Pela Definição


Por: Profº Paulo Sérgio.
Blog: Fatos Matemáticos.

Em Matemática o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função a medida que seu argumento aproxima de um determinado valor. Para compreender melhor este conceito considere a função

[;f(x) = \frac{(2x+1)(x-1)}{x-1};] 

definida para todo [;x \neq 1;]. Desta forma, podemos dividir o numerador e o denominador por [;x - 1;] obtendo [;f(x) = 2x + 1;]. Estudemos os valores da função [;f;] quando [;x\ ;] assume valores próximos de [;1;], mas diferentes de [;1;].

[;x \qquad \qquad \qquad f(x)\\0.000 \qquad 1.000\\0.500 \qquad 2.000\\0.750 \qquad 2.500\\0.900 \qquad 2.800\\0.990 \qquad 2.980\\0.999 \qquad 2.998;]

Se atribuirmos a [;x\ ;] valores próximos de [;1;], porém maiores que [;1;], temos:

[;x \qquad \qquad \qquad f(x)\\2.000 \quad 5.000\\1.500 \quad 4.000\\1.250 \quad 3.500\\1.100 \quad 3.200\\1.010 \quad 3.020\\1.001 \quad 3.002;]

Observemos em ambas as tabelas que, quando [;x\ ;] se aproxima cada vez mais de [;1;][;f(x);] aproxima cada vez mais de [;3;], isto é, quanto mais próximo de [;1;] estiver [;x\ ;], tanto mais próximo de [;3;] estará [;f(x);]. Destas duas tabelas, observamos que

[;\mid x - 1 \mid = 0.1\quad \Rightarrow \quad \mid f(x) - 3 \mid = 0.2\\\mid x - 1 \mid = 0.01 \quad \Rightarrow \quad \mid f(x) - 3 \mid = 0.02\\\mid x - 1 \mid = 0.001\quad \Rightarrow \quad \mid f(x) - 3 \mid = 0.002;]

Observemos que podemos tornar [;f(x);] tão próximo de [;3;] quanto desejarmos, bastando para isto tomarmos [;x\;] suficientemente próximo de [;1;]. Em geral, temos a seguinte definição:

Definição 1: A função [;y = f(x);] tende ao limite [;L;] quando [;x\ ;] tende para [;a;], se para todo número positivo [;\epsilon;], existe um número positivo [;\delta;] tal que, para todo [;x \neq a;] tal que [;0 \prec \mid x - a \mid \prec \delta;], temos [;\mid f(x) - L \mid \prec \epsilon;]

Neste caso escrevemos,

[;\lim_{x \to a} f(x) = L \qquad \text{ou} \qquad f(x) \to L \qquad \text{quando} \qquad x \to a;]
Analisando a figura acima, vemos que se [;f(x) \to L;] quando [;x \to a;], significa que dado [;\epsilon \succ 0;], existe [;\delta \succ 0;] de modo que todos os pontos [;P;], no gráfico de [;f(x);] correspondentes aos valores de [;x\ ;] que se encontram a uma distância não maior que [;\delta;] do ponto [;a;], se localizarão dentro de uma faixa de largura [;2\epsilon;], limitada pelas retas [;y = L - \epsilon;] e [;y = L + \epsilon;]. Podemos resumir a definição 1 acima, usando símbolos

[;\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \Leftrightarrow \quad \forall \epsilon \succ 0, \quad \exists \delta \succ 0 \quad \text{tal que};]

[;\mid f(x) - L \mid \prec \epsilon \quad \text{se} \quad 0 \prec \mid x - a \mid \prec \delta;]

É importante ter sempre em mente no cálculo de [;\lim_{x \to a} f(x);] que interessa o comportamento de [;f(x);] quando [;x\ ;] se aproxima de [;a;] e não o que ocorre com [;f;]quando [;x = a;].

Exemplo 1: 
Prove que [;\lim_{x \to 3} 2x - 4 = 2;].

Resolução: Note que [;f(x) = 2x - 4;][;a = 3;] e [;L = 2;]. Dado , existe [;\delta \succ 0;] tal que
[;\mid f(x) - 2 \mid \prec \epsilon \qquad \text{se} \qquad 0 \prec \mid x - 3 \mid \prec \delta;]

[;\Rightarrow \quad \mid (2x - 4) - 2\mid \prec \epsilon \qquad \text{se} \qquad 0 \prec \mid x - 3 \mid \prec \delta;]

[;\Rightarrow \quad 2\mid x - 3 \mid \prec \epsilon \qquad \text{se} \qquad 0 \prec \mid x - 3 \mid \prec \delta;]

[;\Rightarrow \mid x - 3 \mid \prec \frac{\epsilon}{2};]

Escolhendo [;\delta = \epsilon/2;], a definição se verifica.

Teorema 1: (Unicidade) Se [;\lim_{x \to a} f(x) = L_1;] e [;\lim_{x \to a} f(x) = L_2;], então [;L_1 = L_2;].
Demonstração: Suponhamos por absurdo que [;L_1 \neq L_2;]. Sem perda de generalidade, suponhamos que [;L_2 \succ L_1;] e escolhemos [;\epsilon = L_2 - L_1 \succ 0;].

Como [;\lim_{x \to a} f(x) = L_1;], existe [;\delta_1 \succ 0;] tal que
[;0 \prec \mid x - a \mid \prec \delta_1 \quad \Rightarrow \quad \mid f(x) - L_1 \mid \prec \frac{\epsilon}{2};]

e sendo [;\lim_{x \to a} f(x) = L_2;], existe [;\delta_2 \succ 0;] tal que
[;0 \prec \mid x - a \mid \prec \delta_2 \quad \Rightarrow \quad \mid f(x) - L_2 \mid \prec \frac{\epsilon}{2};]

Tomando [;\delta = \min\{\delta_1,\delta_2\};], segue que se [;0 \prec \mid x - a \mid \prec \delta;], então
[;\epsilon = \mid L_2 - L_1 \mid = \mid f(x) - L_1 + L_2 - f(x)\mid \leq \mid f(x) - L_1\mid + \mid f(x) - L_2\mid \prec \epsilon;]

o que é uma contradição.
Exemplo 2: Demonstre usando a definição que [;\lim_{x \to 1} x^2 = 1;].

Resolução: Devemos provar que
[;\forall \epsilon \succ 0, \quad \exists \delta \succ 0 \quad \mid 0 \quad \prec \mid x - 1\mid \prec \delta \quad \Rightarrow \quad \mid x^2 - 1 \mid \prec \epsilon;]
Notemos que [;\mid x^2 - 1 \mid = \mid x - 1 \mid \ \mid x + 1 \mid;]. Precisamos substituir [;\mid x + 1\mid;] por um valor constante. Neste caso, vamos supor que [;0 \prec \delta \leq 1;], então [;0 \prec \mid x - 1 \mid \prec \delta;], seguem as seguintes desigualdades equivalentes:

[;\mid x - 1 \mid \prec \delta \leq 1 \quad \Rightarrow \quad \mid x - 1 \mid \prec 1 \quad \Rightarrow \quad -1 \prec x - 1 \prec 1 \quad \Rightarrow \quad 0 \prec x \prec 2 \quad \Rightarrow;]

[;1 \prec x + 1 \prec 3;]
Logo, [;\mid x + 1 \mid \prec 3;]. Assim,
[;\mid f(x) - 1 \mid = \mid x^2 - 1 \mid \prec 3\mid x - 1 \mid;]

Como, pela definição, deve ocorrer que [;\mid x - 1 \mid \prec \delta;], temos que [;\mid f(x) - 1 \mid \prec 3\delta;]. Escolhendo [;\delta = \min \{1,\epsilon/3\};], obtém-se que 

[;\mid f(x) - 1 \mid \leq 3\cdot \frac{\epsilon}{3} = \epsilon;] 

Referência Bibliográfica: 
- Iezzi, Gelson. Coleção Fundamentos da Matemática Elementar, Vol. [;8;]: Limites, Derivadas e Noções de Integral.

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