quinta-feira, 10 de março de 2011

Demonstração do Teorema Fundamental da Aritmética





TEOREMA

"A decomposição de um número inteiro n \in \mathbb{N}^*\,\! em fatores primos é única, exceto pela ordem. Em símbolos: Se p_1\cdot\ldots\cdot p_r = n = q_1\cdot\ldots\cdot q_s\,\!, e cada p_j\,\! e todo q_j\,\! é um número primo, então r=s\,\! e para cada j\,\! tem-se p_j = q_{\sigma(j)}\,\!, para alguma permutação \sigma\,\!."

"Se um número primo divide o produto de dois números inteiros, então ele é divisor de um dos dois."

DEMONSTRAÇÃO

A prova será feita por indução.

Se k=2\,\!, o resultado é imediato, então considere que o mesmo vale para todo número inteiro menor que k = n\,\!.

Supondo que existem duas decomposições para o inteiro n\,\!, ou seja, n = p_1\cdot\ldots\cdot p_r = q_1\cdot\ldots\cdot q_s\,\!, segue que algum q_j\,\! é múltiplo de p_1\,\!. Como a ordem dos fatores não é importante, pode-se supor que j=1\,\!.

Neste caso, seque que p_1=q_1\,\!, pois p_1\not=1\,\! e os únicos divisores de q_1\,\! são 1\,\! e ele próprio.
Logo,
n = \mathbf{p_1}\cdot\ldots\cdot p_r = \mathbf{p_1}\cdot\ldots\cdot q_s implica que m = p_2\cdot\ldots\cdot p_r = q_2\cdot\ldots\cdot q_s\,\!
Certamente m <n \,\!, então pela hipótese de indução, m possui uma fatoração única, donde r=s\,\! e p_j=q_j\,\!, para cada índicej\,\!.

Assim, a fatoração de n\,\! é única.

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