quarta-feira, 9 de março de 2011

Equações do Segundo Grau



Módulo Didático de Apoio à Atividade Docente para o CRV
Disciplina Matemática - Ensino Fundamental
Autor(es):
Francisco Dutenhefner
Jorge Sabatucci
Mário Jorge Dias Carneiro
Michel Spira
Fonte: http://crv.educacao.mg.gov.br

INTRODUÇÃO
Neste módulo, vamos estudar as equações do segundo grau (ou equações quadráticas), isto é, equações do tipo  , com a, b e c são números reais e .

Essas equações aparecem em problemas que envolvem situações do cotidiano, bem como em contextos matemáticos e geométricos.

A história da descoberta da fórmula que conhecemos hoje é uma amostra do desenvolvimento de uma descoberta científica. Partindo de problemas práticos, são desenvolvidos métodos específicos para tratar esses problemas. Em seguida, com a análise teórica desses métodos e suas generalizações, busca-se uma formulação geral.

Nesse processo, novas ferramentas e novos conceitos são desenvolvidos.

Documentos datados de cerca de 1800 anos A.C., mostram que os babilônios desenvolveram métodos para resolver problemas de natureza bastante prática que, na linguagem algébrica moderna, levam a uma equação do segundo grau.

Problemas semelhantes já haviam sido tratados pelos egípcios que produziam tabelas com receitas para a obtenção de uma solução (em geral, positiva, adequada a cada tipo de problema).

Métodos geométricos para obter a solução geral de uma equação do segundo grau, foram desenvolvidos pelos gregos. Em particular, foi possível a obtenção da raiz quadrada de um número e a idéia de número irracional, como por exemplo, a medida da diagonal de um quadrado de lado 1.

Entretanto, nessa época ainda não havia sido desenvolvida uma notação adequada para os números, o que tornam esses métodos ( apesar de formalmente muito bonitos) de   alcance bastante limitado para as aplicações.

Na Índia, já se conhecia a notação decimal, muito útil nas transações comerciais. E é nessa área, especialmente em problemas relacionados a juros, que surgem novas situações que levam a  equações quadráticas. 

Tendo um sistema de notação eficiente, que permite fazer cálculos mais precisos e interpretar o significado de um “número negativo”, foi possível reconhecer a possibilidade da existência de uma segunda raiz para a equação do segundo grau.

Um método geral para obtenção das raízes da equação do segundo grau muitas vezes é atribuído a Bhaskara , outras fontes sitam Brahmagupta (598-665 D.C). Entretanto, deve-se ter em mente que a fórmula que conhecemos usa linguagem algébrica, que foi desenvolvida pelos árabes (século XI D.C.) e depois aperfeiçoada já na Europa renascentista ( século XVI D.C.)

Para uma leitura mais aprofundada e precisa da história da equação do segundo grau sugerimos a consulta às referências no final do texto.

Os pré-requisitos para a leitura deste módulo são habilidades para lidar com expressões algébricas.
Em particular, é essencial o conceito de raiz quadrada, que relembramos a seguir.

Se  é um número real com , dizemos que  é a raiz quadrada de  se. Por exemplo,  e, em particular, temos. Uma propriedade elementar de raízes quadradas é  para .

Usaremos algumas identidades algébricas sem menção explícita ao longo deste módulo:


Os exercícios que aparecem ao longo do texto são parte integrante do texto. Com isto queremos dizer que:

a)    são indispensáveis para testar a compreensão do que foi lido
b)    revelam novos fatos e sugerem novas questões.

2- Exemplos de problemas que levam a uma equação do segundo grau
Um dos problemas mais antigos que levam a uma equação do segundo grau, cuja formulação é possível encontrar nos textos babilônicos ( século AC) é o seguinte:

Exemplo 2.1: “O comprimento de um retângulo excede a sua largura em sete unidades. A área do retângulo é de 60 unidades quadradas. Determine o comprimento e a largura do retângulo.”[R]

De acordo com [Joseph] os babilônios resolveram este tipo de problema usando métodos geométricos.
A solução moderna utiliza álgebra: sejam   o comprimento e  a largura do retângulo de modo que a área é igual a  (1).

O enunciado do problema no diz que  e que a área é igual a 60, ou
seja, . Substituindo em (1)  temos: .

Isso quer dizer que para encontrar a largura precisamos resolver a seguinte equação

Exemplo 2.2: Encontrar dois números   e  sabendo-se que a soma é igual a 5 e produto é igual a 6.
Solução: De acordo com o enunciado temos:  e .

Da primeira equação podemos escrever , que substituída na segunda nos dá:. Fazendo o produto obtemos a seguinte equação do segundo grau:

Ou
O exemplo acima se generaliza do seguinte modo :

Exemplo 2.3: Encontrar dois números   e  sabendo-se que a soma é igual a  e produto é igual a .
Solução: Em linguagem algébrica o problema se escreve do seguinte modo:

Sejam  e  os números procurados, então
Se  não há muito o que fazer, pois um dos números deve ser igual a 0.
E  o outro é igual a .
Se , então nenhum dos números procurados é igual a 0 e podemos portanto escrever  . 

Substituindo na equação da soma temos:

Colocando num mesmo denominador:

Multiplicando ambos os membros por  obtemos a seguinte equação de grau dois, conhecidos a soma   e o produto   :

  ou 

Uma vez encontrado o valor de , basta substituí-lo em  .

Exemplo 2.4: Uma turma de alunos organizou uma festa de formatura. Foi combinado um preço de R$ 60,00 por aluno, mas que este preço seria reduzido em R$ 1,00 para cada aluno que participasse da festa. No final das contas, foi pago um total de R$ 800,00. Ache o número de alunos que participaram da festa.

Solução: Sem o desconto o gasto total seria igual a , entretanto, para cada aluno que participa da festa há um desconto de um real por aluno. Isso quer dizer que se  alunos participam da festa, o preço  do ingresso é igual a   por aluno.

Logo, o valor total pago é igual ao número de alunos vezes o preço do ingresso ou seja:  reais.
Como foram gastos 800 reais, temos a equação

Ou  . Agrupando os termos, vemos que o número  de alunos satisfaz uma equação quadrática:

Exemplo 2.5:
Razão áurea: dizemos que um ponto C divide um segmento AB numa proporção áurea se . como , então a proporção acima se escreve:


Denotando a razão por  , substituindo na igualdade acima, temos:

Ou seja, a razão satisfaz a uma equação do segundo grau:   ou 

Exemplo 2.6: A corrente de um rio é de  2 km/h. Um bote, andando a uma velocidade constante, sobe 40 quilômetros na direção oposta à corrente e volta ao mesmo lugar da partida num tempo total de 2 horas.
Qual é a velocidade do bote quando não há corrente do rio?

Solução: A velocidade do bote é igual ao espaço percorrido dividido pelo tempo gasto no percurso.
Um bote andando a uma velocidade constante  igual a  , sem  haver corrente, faz um percurso de 40 quilômetros em um tempo igual a .

Entretanto, ao seguir na direção oposta à corrente do rio sua velocidade é diminuída de 2. Portanto o tempo gasto para subir 40 quilômetros é igual a  .Ao descer na direção da corrente, sua velocidade é somada à velocidade da corrente, resultando num tempo gasto para o percurso na direção da corrente igual a  

Portanto o tempo gasto no percurso total é igual a


De acordo com o enunciado do problema o tempo total gasto é de 2 horas, resultando na seguinte equação:


Que reescrevemos


ou

Isto é

Os exemplos acima, nos dão uma amostra de que, problemas diversos podem levar a um mesmo tipo de equação, no caso em questão, uma equação que envolve um polinômio do segundo grau. Assim sendo, vale a pena desenvolver um método geral ou uma fórmula para solucioná-las.

Entretanto, é preciso estar atento para as soluções encontradas façam sentido para o problema proposto.

Por exemplo, se a questão é encontrar o número de pessoas, então a solução que buscamos necessariamente deve ser um inteiro positivo.

Nas próximas seções, desenvolveremos métodos para resolver equações do segundo grau e discutiremos algumas  aplicações.

 3- Raízes  de uma equação do segundo grau

Definição 3.1: Dizemos que um número    é solução ou raiz da equação
 se, ao substituirmos  por  na equação obtemos um identidade . As constantes ,  e  são chamadas  coeficientes da equação.

Exercício 3.2: Verificar se 2 e 4 são raízes da equação  

Solução: De acordo com a definição, basta substituir os valores  e  na expressão e verificar se o resultado é ou não igual a 0.

No primeiro caso temos . Ou seja, 2 é raiz da equação.

Substituindo   obtemos:  isto é, 4 não é raiz da equação dada.

Exercício 3.3:  Verifique que 3 é uma raiz de .

Exercício 3.4:  Encontre o valor do coeficiente  de modo que -7 seja raiz da equação

Em alguns casos, achar raízes de equações quadráticas pode ser bem simples. O resultado básico que usamos é o seguinte:

Fato: Se o produto de dois número é igual a 0 então um dos dois números é igual a zero. Em símbolos: se   então ou  ou .

Prova: Suponhamos que um dos números, por exemplo, , seja não nulo.

Então podemos dividir os dois lados da expressão  por   e obter:


Da mesma forma, se  não for nulo então a expressão pode ser dividida por   para agora obter Com queríamos mostrar.

Essa observação nos permite resolver algumas equações como nos exemplos a seguir:

Exemplo 3.5: Achar as raízes de  .

Podemos proceder de duas maneiras:
a)    Como no caso da equação do primeiro grau, “isolando a variável” ou seja:    e achar os números cujo quadrado seja igual a 9. Isto é, encontramos tuas raízes: .

b)    Usando a propriedade  e substituindo  a expressão  pelos seus fatores:  . Temos então o produto de dois números igual a 0, o que implica que um dos dois deve ser 0:  ou . O que nos dá as duas raízes .

Apesar das duas maneiras de resolver a equação nos levaram às raízes, o segundo modo sugere um procedimento se soubermos fatorar a expressão como no exemplo:

Exemplo 3.6:
a) Resolver a equação .

Solução: Primeiro notamos que os coeficientes da equação são múltiplos de 3x. Sendo assim, podemos “colocar em evidência o fator comum  “:

O que implica as duas possibilidades:  ou .

b) Resolver a equação .

Solução: O produto é 0, então um dos fatores é igual a 0, o que nos dá:
 ou .

Para usar esse tipo de técnica é importante conhecer alguns truques de fatoração, além da diferença entre dois quadrados, como foi visto acima. Observe que:

  

Com isso podemos comparar os coeficientes de duas equações de modo a obter a fatoração e em seguida as raízes.

Por exemplo, comparando a equação  com a expressão acima vemos que para achar as raízes, basta achar dois números r e s tais que a soma  e produto .

Experimentamos alguns números e vemos que  e  obtendo a fatoração .  Portanto as soluções são  ou .

A comparação dos coeficientes da equação com os da expressão
   também  ajuda a resolvê-la na situação em que conhecemos uma das raízes.

Exemplo 3.7: Resolver a equação .

Solução: É fácil ver, por substituição, que 1 é raiz da equação, pois,

. Portanto a outra raiz  é tal que  e . Isto é,
.

Exemplo 3.8: Encontre uma equação do segundo grau cujas raízes são:

 e  .

Solução:  Sejam  e  dois números reais então  é uma equação de grau dois com raízes iguais a  e . Logo a equação que procuramos é:

 
ou   .

Exemplo 3.9:  Resolver a equação .

Solução: Observe com cuidado o significado da expressão acima.

O quadrado de um número é sempre um número não negativo e 9 é um número positivo, logo, a soma   é um número positivo. Portanto, não há número que anule essa expressão, ou seja, a equação não possui raízes!

Isso pode ser constatado de outra forma:  é o mesmo que  .

O quadrado de um número real é um número positivo, logo, não existe solução para a equação dada.

Acabamos de constatar o seguinte fato:
Uma equação quadrática pode não ter raízes.

Exemplo 3.10: Resolver a equação  

Solução: 3 é um fator comum a todos os coeficientes da equação. Portanto, fatorando, temos: . Dividindo por 3, vemos que as raízes de
 são as mesmas raízes de .

Por substituição vemos que 1 é raiz da equação, pois . Usando a comparação entre os coeficientes, conforme o Exemplo 2.6, obtemos que a outra raiz  satisfaz   ou  .

Isso significa que a equação dada só possui uma raiz (neste caso chamada de raiz dupla).

Resumindo:
Uma equação do segundo grau pode ter duas, uma ou nenhuma raiz.

Exercício 3.11: Resolver as seguintes equações:
a)   
b)   
c)   
d)   
e)   
f)    
g)   

3 Um método para resolver equações do segundo grau: “completar o quadrado”
Nosso objetivo é usar a comparação de expressões algébricas e a fatoração para obter a solução de uma equação geral do segundo grau.

Observação: Duas expressões do segundo grau  e   são idênticas se e somente se ,  e .

Prova: Comparando as duas expressões polinomiais:
   ou   .

A igualdade das expressões polinomiais significa que ao substituirmos  por qualquer número real, obtém-se o mesmo valor numérico.

Agrupando os coeficientes de mesmo grau:

Substituindo  por 0 obtemos  ou .

O que reduz a igualdade acima a .

Fatorando o termo comum , obtém-se:  .

Com a igualdade acima é válida para todo valor de , podemos fazer o cancelamento para obter .

Substituindo novamente  por , temos   ou .

Restando a identidade , válida para todo valor de .

Substituindo por , concluímos que  ou . Como queríamos demonstrar.

Comecemos com um exemplo:

Exemplo 4.1 Resolver a equação

Solução: O coeficiente  está escrito numa forma especial, que sugere
comparar a equação dada com a expressão com . Observe que os dois primeiros termos coincidem, a diferença está apenas no terceiro termo.

Assim sendo um pequeno artifício, chamado comumente de “completar o quadrado”, de somar e subtrair , nos permite escrever  a equação original na forma:

Assim a equação se escreve:  .

Observe que a primeira parcela da expressão é um quadrado perfeito.
Ou na forma equivalente:  .

Vemos que, para ter solução é necessário que o lado direito seja um número não negativo, isto é,    ( condição 1).

Neste caso, resolve-se a equação tomando-se a raiz quadrada
ou                                          (1)

Vejamos um exemplo numérico:

Exemplo 4.2: Resolver a equação .

Solução: Comparando os termos vemos que podemos escrever a equação como  . 
Ou . O que nos fornece as duas soluções:


O que foi feito no Exemplo  3.1 pode ser generalizado para qualquer equação do tipo .

O primeiro passo é definir  .

Como vimos na (condição 1) acima, a equação terá solução se e somente se,  . Escrita a condição usando o coeficiente  , temos:

,isto é,    ou    , tendo em vista que o denominador, 4,  é positivo.

Satisfeita essa condição basta aplicar a fórmula (1) obtida acima:


Exercício 4.3: Para cada equação abaixo, dizer se há soluções e, no caso afirmativo, resolvê-la:

a)   
b)   
c)   
d)   

A fórmula (2) obtida acima é bastante útil no caso em que o coeficiente a é igual a 1, porque nos dá:

a)    a condição para que se tenha raízes
b)    como calculá-las

Ela também nos ajuda a resolver o caso geral.
Para isso, basta fazer algumas operações:

Primeiramente, lembrando que  escrevemos


Escrita nessa forma, vemos que resolver a equação  é o mesmo que resolver a seguinte equação:


Essa equação é  do tipo que acabamos de tratar.

Para ver isso, basta  comparar,   e  .

Sendo assim, a condição (2 ),, para existência de solução, se escreve:

Ou                                                      (Condição 3)

E nesse caso, usamos a fórmula 2 para as raízes:



Simplificando a expressão obtemos finalmente


A expressão , denominada discriminante da equação é importante porque nos informa diretamente, a partir dos coeficientes,  se a equação possui raízes e quantas. A letra grega  ( “delta”) é tradicionalmente usada.

Quando  dizemos que a equação possui uma raiz dupla, que é calculada diretamente a partir da fórmula (3):  .


O quadro abaixo resume o que foi feito até aqui:

Raízes de
raízes distintas  e
raiz  única
não tem raízes reais

Vejamos um exemplo numérico:

Exemplo 4.4: Resolver a equação

Solução: Inicialmente calculamos o discriminante

 

Isso significa que a equação possui duas soluções:


Isso pode ser verificado diretamente, por substituição na expressão

 :

Exercício 4.5: Para cada equação abaixo, dizer se há soluções e, no caso afirmativo, resolvê-la:

a)   
b)   
c)   
d)    -4
e)   

Vejamos agora alguns problemas cuja solução envolve uma equação quadrática. Para começar, recomendamos que sejam resolvidos os problemas do parágrafo 2 acima.

Exercício 4.7:  Existe retângulo de área 6 e perímetro 4?

Solução: Sejam  e  as dimensões do terreno, comprimento e largura. Portanto, a área é igual a  e o perímetro é .

Logo :  e  ou . Com foi observado acima, as dimensões do retângulo  correspondem às soluções da seguinte equação do segundo grau:


Cujo discriminante é:.

Portanto, não existe retângulo com a área e o perímetro dados.

Mais geralmente, na equação  o discriminante é igual a
 . Logo existe um retângulo de perímetro  e área  quando , isto é,

Problema 4.8: Dispondo de uma cerca de 10 metros de comprimento, é possível cercar um terreno retangular de 8 metros quadrados?

Solução: Sejam  e  as dimensões do terreno, comprimento e largura. Portanto, a área é igual a  e o perímetro é . Para que ao cercar o terreno com uma cerca de 10 metros é necessário que o perímetro total seja menor ou igual a 10 metros ou

De acordo com os dados do problema:


Isto é,  , que substituído na segunda equação nos dá:


Somando a fração e multiplicando por 2,  .

Multiplicando por , obtemos a equação do segundo grau: .

Como essa equação admite solução, o seu  discriminante deve ser maior ou igual a 0:


Conclusão, o perímetro do terreno é tal que o seu quadrado é maior ou igual a 128. Para que possamos cercar o terreno com a cerca que dispomos, devemos ter  ou  . Mas calculando o discriminante da equação vimos que .

Logo, a cerca não é suficiente para cercar o terreno.

Problema 4.9           Sejam r e s as raízes de . Sem calcular essas raízes, achar o valor de ,  .

Solução: A equação possui duas raízes distintas, pois . Além disso,

Sabemos que  e . Logo,


Por outro lado, sabemos que


Logo
           
5- Equações que podem ser reduzidas a uma equação do segundo grau

Algumas vezes, uma substituição de variáveis permite passar de uma equação de grau maior para uma equação quadrática. O exemplo mais conhecido é o da equação do quarto grau ou bi-quadrática:

Exemplo 5.1: Resolver a equação  .

Solução: Observe que só aparecem potências pares  de  na equação.
Isso sugere a seguinte substituição de variáveis :  .


Resolvendo esse equação temos duas soluções:


Observe que ambas as raízes são positivas de modo que cada uma dará origem a duas raízes da equação original, num total de quatro raízes distintas:


É claro que poderíamos ter um número menor de raízes se uma das raízes da equação do segundo grau associada fosse negativa, como no exemplo a seguir.

Exemplo 5.2: Resolver a equação  .

Solução: Novamente fazemos a substituição :  para obter a equação


Como  , essa equação possui duas raízes distintas, cujo produto é igual a -1. Portanto uma delas é negativa e não corresponde a uma solução da equação original.

De fato, as soluções são  , que é positiva, e

 , uma solução negativa.

Uma solução  que corresponde a uma raiz da equação original deve ser tal que existe um número real  tal que . Dessa forma devemos descartar a solução negativa.

Desse modo, a equação original possui apenas duas soluções reais:


Em geral, para que exista uma solução de uma equação bi-quadrática
 é necessário que o discriminante seja positivo:  .

Para que a equação possua quatro raízes distintas, é necessário que a equação quadrática obtida pela substituição de variáveis  tenha as duas raízes positivas.

Algumas equações que envolvem radiciação também podem corresponder a uma equação do segundo grau, como no exemplo a seguir.

Exemplo 5.3: Resolver a equação

Solução: Podemos tomar o quadrado de ambos os membros da igualdade, mas as operações ficam mais simples se antes de fazer isso, escrevemos


Agora sim, tomando o quadrado dos dois membros da equação encontramos


Simplificando:


Isolando o radical:


Simplificando:


Tomando novamente o quadrado de ambos os membros:


Dividindo ambos os membros por 4:


Reagrupando:


Para obter a equação do segundo grau:


O discriminante desta equação é igual a .

Logo, a equação possui duas raízes distintas.

Entretanto, é preciso estar atento para o fato de que a equação original envolve a raiz quadrada. Isso significa que o domínio das possíveis raízes deve ser tal que as expressões que aparecem sob radical devem ser não negativas.
No nosso caso devemos ter  e . Portanto, equação original só faz sentido se  e  ou   .

Calculemos as soluções de :

Como  temos  e de modo que

e

Portanto, ambas as soluções encontradas são raízes da equação original.

Exercício 5.4: Resolver as seguintes equações:

a)   
b)   
c)   
d)   


Referências:
[J] Joseph, G.G. The crest of the peaccock: Non-european roots of Mathematics, Princeton University Press, 1991
 [L] Lima, E.L.; A equação do segundo grau, RPM 13, 1988, p.21-33.
[F] Fragoso, W.; Uma abordagem histórica da equação do segundo grau, RPM 43, 2000,p. 20-25.
[R] Rosa, Milton; Uma solução geométrica babilônica, RPM 67, 2008, p.9-11
[L] Lima, E.L., Carvalho,P.C., Morgado,A.C., Wagner, E.; Temas e Problemas, Coleção do Professor de Matemática – SBM.
[site] http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/

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